フーリエ解析(メモ)

フーリエ級数というのは、周期関数をサイン、コサインの和で表せると考えたことに始まる。それが後にディリクレの条件下(もっと広い条件もある?)で収束が証明され、元の関数の左右の極限を取ったものを足して半分にしたものに一致する、つまり不連続点では中間の値になりその他の点では一致するということがわかった。

これを非周期関数を表すのにも使えないかと考えられたのが、フーリエ変換である。

フーリエ変換フーリエ級数の周期を無限大まで持ってくことで非周期関数を周期無限の関数として表したものである。その際、離散的であったスペクトル(係数)が連続的になるなど解析的手法を用いて導出された。

フーリエ級数と変換をつまんで書くとこのようなとこでしょうか。数式を一つも書いていませんが、メモということでご容赦を。数式を楽に導入できるようになったらやります(ラテフなのでしょうか)。

関数の直交性や複素フーリエ級数、ベッセルの不等式、パーシヴァルの等式、自己相関関数、線形システムなども自分なりにまとめたいですね。このあたりは線形代数の知識が必要なので先にそこを整理してからですかね。

 ここのあたりは、微分積分学解析学?、無限小解析学?)の知識が必要となるのでそこも整理したいですね。微分積分学解析学と無限小解析学このあたりの違いもよく理解してないのでそこから始めたいです。無限小解析から始まって無限という概念を使わないようにできたのがεδ論法、逆にそれが成り立つよう作られたのが超準解析見たいな認識です。εδを触れないで解析学の授業が終わってしまったので独学で勉強しようと思っていますが、よい教科書があれば知りたいです。

 

 今、書きたいなと思っている内容は、線形代数、線形システムに関連付けて畳み込み積分について、確率統計です。落ち着いたら書きます。

 

そういえば、超を趙と変換してしまいキングダムを思い出しました。途中から読めてないので読みたいです。毐国ができたあたりかな?